도서 소개

복소수에 대한 주요 개념과 기본적인 결과 사이의 원활한 연결을 제공하는 책이다. 복소수를 대수적 방정식의 풀이에 어떻게 적용할 수 있는지를 배우고, 복소수의 기하적 해석과 이를 포함한 연산을 이해하는 기회를 가질 수 있다. 이론을 다루는 부분은 풍부한 연습문제와 다양한 수준의 문제와 함께 구성되어 있다. 3장과 4장에서는 유클리드 기하에서의 중요한 활용을 다루고 있으며 복소수를 이용하여 많은 기하학적 문제들을 효율적이고 우아하게 해결하였다.

  출판사 리뷰

이 책의 주 목적은 독자들에게 매력적인 과제를 소개하는 것이다.
이 책은 복소수에 대한 주요 개념과 기본적인 결과 사이의 원활한 연결을 제공한다. 독자들은 복소수를 대수적 방정식의 풀이에 어떻게 적용할 수 있는지를 배우고, 복소수의 기하적 해석과 이를 포함한 연산을 이해하는 기회를 갖게 된다. 이 책의 이론을 다루는 부분은 풍부한 연습문제와 다양한 수준의 문제와 함께 구성되어 있다. 3장과 4장에서는 유클리드 기하에서의 중요한 활용을 다루고 있으며 복소수를 이용하여 많은 기하학적 문제들을 효율적이고 우아하게 해결하였다. 이 책에서 제공하는 풍부한 예제, 개인적인 방식으로 제시한 많은 주제, 수많은 독창적인 문제, 그리고 선택된 문제의 풀이에 대한 자세한 관심은 이 책의 중요한 특징 중 일부이다.
제안한 해결 방법 중에는, 예를 들면, 실수와 복소수의 곱과 복소수와 복소수 사이의 곱에 대한 방법이 있다. 복소수의 언어로는 각각 스칼라 곱과 외적으로 표현된다. 이 둘을 사용하면 복소수를 포함하는 수많은 문제를 효율적으로 해결할 수 있다. 이 부분을 학습하고 나면 독자들은 이러한 방법을 사용할 수 있게 된 것에 대해 감사할 것이다.

이 책에는 저자들의 독특한 경험이 반영되어 있다. 또한 이 책을 통해 풍부한 문제 해결 방법의 핵심을 포함한, 그렇지만 대부분의 서구 대중에게는 잘 알려지지 않은, 방대한 수학 도서를 제공한다.
이 책의 일부는 루마니아 버전인 2001년 밀레니엄에서 출판한 도린 안트리카와 타투 안드레스쿠의 저서 “복소수를 향한 새로운 관점”에 근거를 두고 있다. 우리는 루마니아 편집본의 제목과 약 35%의 내용을 있는 그대로 사용하고 있다. 심지어 이 에 해당하는 부분도 상당히 개선되었으며 최신 자료로 내용이 더욱 강화되었다.
이 책은 고등학교 학생들과 그들의 선생님, 대학생, 올림피아드나 윌리엄 로웰 퍼트넘 수학경시대회와 같은 수학경시대회 준비생, 그들의 코치, 그리고 수학의 본질에 관심이 있는 모든 이들을 대상으로 하고 있다.
이 책은 능력있는 고등학교 교사를 위한 복소수와 유클리드 기하와 같은 강좌를 개설하여 미래의 교육자에게 총명한 학생이나 수학 동아리에서 그들이 할 수 있는 것에 대한 아이디어를 제공할 수도 있다.
특별히 최종 원고의 교정에 도와준 Daniel Vacaretu, Nicolae Bisboaca, Gabriel Dospinescu, 와 Ioan Serdean에게 감사한다. 또한 이 출판물의 개선에 직접적으로 기여한 적절한 제안을 해 준 관계자들에게도 깊은 감사를 보낸다.

  작가 소개

지은이 : 도린 안드리카
1992년 루마니아 클루지나포카에 있는 바베스-보여이 대학교(University of Babe-Bolyai)에서 “critical points and applications to the geometry of differentiable submanifolds(미분 가능한 부분 다양체의 기하학에 대한 임계점과 응용)”에 대한 논문으로 박사 학위를 받았다. 안드리카 교수는 1995년부터 2009년까지 바베스-보여이 대학교에서 기하학과 학과장을 역임했다. 도린은 다양한 수준의 수학 교과서, 문제 책, 논문, 과학 논문을 집필하고 기고하였다. 도린은 오스트리아, 불가리아, 체코, 이집트, 프랑스, 독일, 그리스, 네덜란드, 사우디아라비아, 세르비아, 튀르키예, 미국 등 전 세계 대학 회의에 초청 강사로 활동하고 있다. 그는 루마니아 수학 올림피아드 위원회의 회원이며 여러 국제 학술지의 편집 위원회 위원이다. 도린은 2001-2005년에 케나다-미국 수학 캠프(CanadaUSA Mathcamps), 2006-2011년에는 Awesome Math 캠프에서 정규 교수로 활동하였다.

지은이 : 띠투 안드레스쿠
루마니아 티미소아라의 웨스트 대학(the West University of Timisoara)에서 학사, 석사, 박사 학위를 받았다. 그의 박사학위 논문 주제는 “Research on Diophantine Analysis and Applications.(디오판틴 분석과 응용에 관한 연구)”였다 안드레스쿠 교수는 현재 달라스(Dallas)에 있는 텍사스 대학(University of Texas)에서 지도하고 있다. 1998년부터 2003년까지 미국 수학 올림피아드의 회장을 지냈으며, 1993년부터 2002년까지 10년간 미국 국제 수학 올림피아드 팀 코치를, 1995년부터 2002년까지 미국 수학 올림피아드 팀의 지도자를 역임했다.2002년, 티투는 세계에서 가장 권위 있는 수학 대회의 운영 기관인 IMO 자문 위원회의 회원으로 선출되었다. 티투는 1994년 고등학교 수학 교육으로 이디스 메이 슬리프 상(the Edyth May Sliffe Award (역자주) 이 상은 Edyth May Sliffe 상은 미국 수학 협회(Mathematical Association of America)에서 매년 미국의 20명의 교사에게 수여합니다)을 받았고, 1995년에 수학 올림피아드 여름 프로그램의 코치로서 미국 팀을 준비와 1994년 홍공 IMO에서 우수한 성적을 거두는 것에 대한 탁월한 공로를 인정받아 MAA 회장으로부터 감사장을 받았다. 수많은 교과서와 문제집에 대한 티투의 기여는 세계적으로 인정받고 있다.

  목차

서문 ⅱ
제 1판의 서문 ⅲ
기호 표시 ⅴ
저자들에 대해서 ⅵ
역자 서문 ⅷ

1장. 대수 형태의 복소수 1
1.1 복소수의 대수적 표현 1
1.1.1 복소수 정의 1
1.1.2 덧셈에 관한 성질 2
1.1.3 곱셈에 관한 성질 3
1.1.4 복소수의 대수적 형식 5
1.1.5 허수 의 거듭제곱 6
1.1.6 켤레복소수 7
1.1.7 복소수의 절댓값 9
1.1.8 이차방정식 풀이 14
1.1.9 연습문제 17

1.2 대수적 연산의 기하적 해석 22
1.2.1 복소수의 기하적 해석 22
1.2.2 절댓값의 기하적 해석 23
1.2.3 대수적 연산의 기하적 해석 24
1.2.4 연습문제 27

2장. 삼각함수 형식으로 표현된 복소수 28
2.1 극좌표로 표현된 복소수 28
2.1.1 평면에서 극좌표 28
2.1.2 극좌표로 표현된 복소수 30
2.1.3 극좌표에서의 복소수 연산 34
2. 복소수의 거듭제곱 35
2.1.4 곱셈의 기하적 해석 38
2.1.5 연습문제 39

2.2 (unity)의 제곱근 41
2.2.1 복소수의 제곱근 정의 41
2.2.2 의 제곱근 43
2.2.3 이항방정식 51
2.2.4 연습문제 51

3장 복소수와 기하 54
3.1 몇 가지 단순한 기하적 표현과 성질 54
3.1.1 두 점 사이의 거리 54
3.1.2 선분, 반직선, 직선 54
3.1.3 주어진 비율로 선분 분할하기 58
3.1.4 각의 측정 58
3.1.5 두 직선 사이의 각 61
3.1.6 점의 회전 61

3.2 같은 직선 위, 수직 그리고 동일한 원 위에 있을 조건 66
3.3 닮은 삼각형 69
3.4 정삼각형 72
3.5 복소평면에서의 해석기하학 일부 78
3.5.1 직선의 방정식 78
3.5.2 두 점에 의해 결정되는 직선의 방정식 80
3.5.3 삼각형의 넓이 81
3.5.4 점과 방향이 주어진 직선의 방정식 83
3.5.5 점에서 직선으로의 수선의 발 84
3.5.6 점과 직선 사이의 거리 85

3.6 원 85
3.6.1 원의 방정식 85
3.6.2 한 점의 원에 대한 방멱(The power of a point) 87
3.6.3 두 원 사이의 각 87

4장 복소수와 기하에 대한 자세한 설명 90
4.1 복소수의 내적 90
4.2 두 복소수의 외적 96
4.3 볼록다각형의 넓이 100
4.4 삼각형에서 체바 선분의 교점과 중요한 몇 가지 점들 104
4.5 오일러의 구점원(Nine-point circle) 107
4.6 삼각형의 중요한 몇 가지 거리 112
4.6.1 삼각형의 기본 불변량 112
4.6.2 외심과 내심 사이의 거리 114
4.6.3 외심과 나겔 점 사이의 거리 115
4.6.4 외심과 수심 사이의 거리 117
4.6.5 블런던(Blundon)의 부등식 118

4.7 삼각형의 평면에 있는 두 점 사이의 거리 121
4.7.1 무게중심의 좌표(Barycentric Coordinates) 121
4.7.2 무게중심 좌표에서 두 점 사이의 거리 122

4.8 무게중심 좌표계에서 삼각형 넓이 125
4.9 수직극 삼각형 131
4.9.1 심슨-월리스 직선과 페달 삼각형 131
4.9.2 수직극성의 필요충분조건 138

4.10 안티페달 삼각형의 넓이 142
4.11 라그랑주의 정리와 응용 147
4.12 내접다각형에서 오일러의 중심 154
4.13 복소 평면에서 기하적인 몇 가지 변환 156
4.13.1 평행이동 156
4.13.2 실수축 대칭 157
4.13.3 점 대칭 157
4.13.4 회전 158
4.13.5 복소평면의 등거리변환(Isometric Transformation) 158
4.13.6 몰리의 정리(Morley’s Theorem) 160
4.13.7 중심 닮음 변환 163
4.13.8 연습문제 164

5장 올림피아드 문제 165
5.1 켤레 복소수와 복소수의 절댓값과 관련된 문제들 165
5.2 대수적 방정식과 다항식 181
5.3 대수적 항등식의 기하적 성질 187
5.4 기하적 문제의 풀이 196
5.5 삼각비 문제의 풀이 218
5.6 의 제곱근에 관한 자세한 설명 225
5.7 다각형과 관련된 문제 235
5.8 복소수와 조합론 243
5.9 다양한 문제들 251

6장 답, 힌트와 제시된 문제의 풀이들 261
용어 정리 390
참고 문헌 398

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