출판사 리뷰

기호의 의미를 ‘직’접 ‘관’람하는 신개념 미적분 통합서
EBS 《수능 특강》 대표 저자가 알려주는 수학 공부의 새로운 패러다임!

역사 속으로 사라질 뻔한 아르키메데스의 ‘방법(The Method)’이
2025년 서울의 한 고등학교에서 되살아난다!



★★★
前 한국교원대 총장, 前 대한수학교육학회 회장 류희찬 추천
경남대학교 수학교육과 교수 박부성 추천
초대형 입시 수학학원 ‘깊은생각’ 원장 한석만 추천




2028학년도 수능 개편 2년 전, 현재 고등학교 1학년부터 수능에서 미적분Ⅱ가 평가 영역에서 제외되며 수학 학습의 격변이 예고되었다. 미적분이 AI 기술의 기초가 되는 미래 사회를 앞두고, 정작 입시 현장에서는 수학적 기초 체력이 약화될 수 있는 역설적인 상황이 펼쳐진 것이다. 그 와중에 일부 대학은 자연 계열 지원 시 미적분Ⅱ를 권장과목으로 안내하는 등 가중되는 혼란과 함께 전략적 수학 공부의 필요성이 급부상하고 있다. 이러한 전환기의 요구에 맞춰, 교육계의 찬사와 함께 혜성처럼 등장한 《미적분 직관하기》가 ‘눈으로 푸는 미분’에 이어 ‘눈으로 푸는 적분’으로 돌아왔다.
이 책을 쓴 박원균은 고등학교에서 30년 가까이 학생들을 가르친 수학 교사이자 수능 연계 교재 EBS 《수능 특강》 현직 최장기 집필자다. 매년 교사들을 대상으로 수능형 문제 출제 연수를 이끌고 있다. 책에서는 실제로 평가원 문제와 수능 문제를 다루면서 출제자가 문제를 낸 의도에 기반해 미적분을 설명하는 것은 물론, 직접 개발한 수학 교구로 독자를 어디서도 본 적 없는 미적분 수업으로 초대한다.
수능 개편은 단순히 문항 몇 개가 바뀌는 정도가 아니라 학생들이 앞으로 어떤 방식으로 수학을 사고하고 접근해야 하는지 전체 방향이 달라지는 문제다. 시험이 바뀌더라도 개념의 본질은 변하지 않는다. 지금은 변화의 중심부에 놓인 학생들이 미래의 경쟁력을 스스로 설계할 수 있도록 돕는 안내서가 가장 필요한 때다. 《미적분 직관하기》는 학생들이 ‘이해하도록’ 돕는 것을 넘어 학생이 스스로 ‘발견하도록’ 돕는 저자의 목표와 함께 교육과정 변화 이전과 이후에 반드시 정리해야 할 개념 구조와 사고 체계를 붙잡기 위한 가장 직관적이고 확실한 안내서가 되어준다.



1. 저자가 최초로 개발한 지레 교구와 함께하는 적분 수업
- 기원전의 사고가 21세기 학생과 만나는 순간
- 개념의 본질을 파악하고 스스로 사고를 전개할 수 있도록 설계된 책

기원전 최초로 적분법의 정신을 담은 아르키메데스의 소논문은 오랜 세월을 지나는 과정에서 영영 빛을 보지 못할 뻔하다가 1998년 뉴욕 경매장에서 낙찰되어 현대 기술로 가까스로 복원되었다. 그 논문의 내용은 오늘날 ‘방법(The Method)’이라 불린다.
뉴턴도, 라이프니츠도 2,000년이 넘는 세월 동안 아르키메데스의 이 ‘방법’을 알지 못했다. 《미적분 직관하기 2》는 기적적으로 되살아난 아르키메데스의 이 논문의 영혼을 학생들이 언제든 손에 쥐고 오감으로 느끼며 이해할 수 있는 나무 모형 지레에 담아 설명하는 것으로 시작된다. 적분의 뿌리를 재현한 지렛대 교구는 한국 교육 현장에서 처음 시도되는 독창적인 방식이다. 저자 박원균이 최초로 개발한, 적분의 원리를 감각적으로 포착하는 이 혁신적인 지레 교구는 오로지 지레의 원리 하나만을 이용해 도형의 길이와 무게, 부피와 넓이를 깨우치는 데까지 나아간다. 독자는 실제 수업 현장을 그대로 옮긴 듯한 생생한 서술과 함께 스스로 적분의 원리를 찾아가는 학생이 되어본다. 기존의 어디서도 볼 수 없는 직관 기반의 새로운 적분 수업에 여러분을 초대한다.


2. 고대부터 근대까지, 수학적 통찰의 계보로 보는 미적분
- 적분은 왜 미분보다 2,000년 먼저 등장했을까?
- 변화(미분)와 전체(적분)가 만나 하나의 체계가 되기까지

16세기까지도 3+3+3과 3×3은 서로 달랐다. 더하기로 이루어진 것은 9만큼의 길이였고, 곱하기로 이루어진 것은 9만큼의 넓이였다. 고도의 지능이 필요한 인간의 추상화 능력이 무르익는 과정에서 대수적인 계산이 두드러지는 미분보다 실생활과 밀접한 넓이와 부피를 구하는 기하적인 적분이 먼저 발견된 것은 자연스러웠다.
‘미적분’이라는 고유명사가 입에 붙었지만 사실 미분과 적분은 오랜 세월 마치 전기와 자기, 파동과 입자처럼 별개의 영역에서 연구되어왔다. 교과서에서 미분이 먼저 언급되는 것과 달리 연구가 먼저 시작된 것은 적분이었다. 그것도 2,000년이나 앞서 말이다.
아르키메데스 이후 현대적인 적분법의 발상은 더디게 발전했다. 1629년 카발리에리의 불가분량의 원리에 이르러서야 무수히 많은 선들이 모여 면이 되고, 무수히 많은 면이 모여 입체 도형이 되는 본격적인 적분 계산의 정신이 등장한다. 고대 유클리드에서부터 시작된 ‘폭이 없는 선’과 ‘두께가 없는 면’은 카발리에리에 의해 ‘무한히 가늘지만 폭이 있는 선’과 ‘무한히 얇지만 두께가 있는 면’으로 거듭났다.
이 ‘한없이 작은 폭과 두께’인 무한소는 라이프니츠에 의해 마침내 기호화된다. 바로 “dx”다. 0이라는 숫자의 발명과 x라는 미지수 표기의 발명에 이은 수학 역사의 변곡점을 만들어내는 또 한 번의 위대한 순간이었다. 이후 변화(미분)와 넓이(적분) 사이의 밀접한 관계는 뉴턴과 라이프니츠를 통해 하나의 통합된 체계가 되었고, 수열의 극한과 합으로 지난한 계산 과정을 거쳐 답을 구해야 했던 적분은 혁명적인 전환점을 맞이하게 되었다.
책은 이러한 지적 여정을 학생의 눈높이에 맞춰 설명하며, 적분 기호 하나에 담긴 의미까지 자연스럽게 연결한다. 이 책은 그 통합의 과정을 시각적 사고와 함께 풀어내며 독자가 ‘왜 미적분이 하나가 될 수밖에 없는지’를 스스로 통찰하도록 구성했다.


3. “이건 눈으로 푸는 문제잖아!”
- 시험이 바뀌어도 남는 것, ‘수학적 직관’
- 개념이라는 무한소가 수학 성취에 일으키는 무한대의 변화

1권 ‘눈으로 푸는 미분’에 이어 2권 ‘눈으로 푸는 적분’에서도 독자는 눈으로 수능 4점짜리 문제를 푸는 경이로운 경험을 하게 된다. 이 책의 백미는 기호 뒤의 의미를 먼저 보여주는 방식이다. 기호에 담긴 구조를 이해하면, 복잡한 문제는 하나의 이야기가 된다. 앞서 저자와 함께 기호 하나하나에 담긴 미적분의 역사를 배운 독자는 이제 라이프니츠의 눈으로 적분 기호에 담긴 의미를 직관할 수 있게 된다.
저자는 “적분은 정적인 전체를 탐구하는 과정에서 생겨났고, 미분은 동적인 부분을 탐구하는 과정에서 시작되었다.”라고 말한다. 미적분은 단편적인 계산 기술이 아니라 전체와 부분을 동시에 조망하는 하나의 관점이다. 부분의 변화가 전체를 어떻게 구성하는지, 전체의 구조가 다시 부분의 의미를 어떻게 규정하는지를 자연스럽게 오가며, 미적분의 두 축을 통합적으로 바라보는 눈을 갖게 되는 것이다.
이러한 관점은 추상적인 정의에 머물지 않는다. 시간에 따라 차오르는 물의 양을 적분으로 해석하고, 미적분이 차원이라는 개념과 어떤 방식으로 맞물리는지, 우주 속에 숨어 있는 미적분을 시각적으로 드러내는 과정에서, 학생은 공식이 아니라 상황 자체를 읽는 법을 배우게 된다. 문제를 계산 대상으로 보기 전에, 어떤 변화가 누적되고 있고 무엇이 기준이 되는지를 먼저 파악하는 힘이 길러진다.
저자가 독자에게 전하고자 하는 것은 계산의 요령이 아니라 무한소를 다루는 태도다. 무엇을 버리고 무엇을 남길 것인지, 정지된 전체와 움직이는 부분을 어떻게 연결할 것인지에 대한 판단력이 곧 수학적 직관이며, 이것이 시험이 바뀌어도 끝내 남는 힘이다. 교육 과정에서의 혼란에도 불구하고 《미적분 직관하기》과 함께 생각하는 힘을 더 강하게 길러낼 수 있는 계기를 얻길 바란다.

“이제 우리가 마지막으로 직접 확인해보고 싶은 지레의 균형은 무엇일까?”
“오른쪽 끝에는 포물선 도형을 놓고, 왼쪽에는 받침점에서 2/3만큼 떨어진 지점에 삼각형 도형을 놓으면 균형이 맞아야 합니다.”
두 도형을 학생이 말한 대로 놓자 정확하게 균형이 맞았다. 교실에서는 2,300년 전으로 보내는 함성과 박수 소리가 터져 나왔다. - 1부 3장 〈아르키메데스의 수학 서커스〉

아르키메데스의 방법은 오늘날 적분법의 정신, 즉 전체를 작은 조각으로 나누어 분석한 후, 그것들을 다시 결합해 전체를 이해하는 방식의 모태라 할 수 있다. 그래서 적분법의 역사 맨 처음에는 언제나 아르키메데스가 등장한다. 그런데 놀라운 사실은 적분법을 완성한 뉴턴과 라이프니츠조차 아르키메데스의 방법의 존재를 몰랐다는 것이다. 이 방법이 자칫 인류의 기억 속에서 영영 사라질 뻔했던 아찔한 위기가 있었기 때문이다. - 1부 4장 〈아르키메데스의 ‘방법’〉

수학에서 적분이 미분보다 개념적으로 먼저 등장할 수밖에 없었던 근본적인 이유는 인간의 본성이 부분보다 전체에 더 많은 관심을 갖기 때문이고, 동적(動的)인 것보다 정적(靜的)인 것을 탐구하는 것이 훨씬 쉬웠기 때문이다. 적분은 ‘정적인 전체’를 탐구하는 과정에서 탄생했고, 미분은 ‘동적인 부분’을 탐구하는 과정에서 시작되었다. - 1부 8장 〈입체도형의 부피를 어떻게 구할 것인가〉

  작가 소개

지은이 : 박원균
서울대학교 사범대학 수학교육과를 졸업하고 서울시 성남고등학교에서 30년 가까이 수학 교사로 근무하고 있다. 2001년부터 2025년까지 매년 EBS 수능 교재를 집필하고 있으며, 특히 대표 교재인 《수능 특강》 시리즈 집필에 20회 넘게 참여하고 있다. 2007, 2009 개정 교육과정 고등학교 수학 교과서 집필에 참여했으며, 《쎈 수학》(신사고) 시리즈의 초판본 저자이자 현재 《일품 수학》(신사고) 저자다.다양하고 풍부한 교재 집필과 문항 출제 경험을 바탕으로 2020년부터 현직 교사들을 대상으로 교육청이 주관하는 〈수능형 문항 출제 역량 강화 연수〉에 강사로 매년 참여하고 있다. 평소에는 재미있는 수학사를 곁들여 ‘논리와 직관’을 모두 아우르는 수업을 위해 노력하고 있다.

  목차

[1부 분할과 통합을 직관하다: 적분]
1 한 여름날의 특강
2 지레의 원리
3 아르키메데스의 수학 서커스
4 아르키메데스의 ‘방법’
5 평면도형의 넓이를 어떻게 구할 것인가
6 원주율을 구하는 여정
7 아르키메데스의 엄밀한 적분
8 입체도형의 부피를 어떻게 구할 것인가
9 수열의 일반항과 합
10 라이프니츠의 망원합
11 급수, 무한개의 수를 더하다
12 자기닮음과 프랙털
13 적분의 재등장

[2부 미분과 적분의 통합을 직관하다: 미적분]
1 현대적 적분의 시작
2 다항함수의 그래프의 넓이가 정복되다
3 수학의 대혁명이 눈앞에 아른거리다
4 뉴턴의 현란한 적분법
5 라이프니츠의 심오한 적분 기호
6 미적분의 기본 정리
7 적분이 진화하다
8 미적분의 창시자들
9 미적분의 기본 정리 직관하기
10 넓이의 변화율 직관하기

[3부 문제 해결의 혁명을 직관하다: 미적분의 활용]
1 정적분 기호 가지고 놀기
2 넓이를 구하는 새로운 방법
3 입체도형의 부피
4 곡선의 길이, 그리고 미적분과 차원
5 적분, 말 그대로 조각의 넓이를 쌓다
6 다항함수 그래프의 필연성
7 적분으로 이런 것도 구할 수 있다고?
8 무한소만큼의 변화가 탄생시킨 새로운 방법
9 뉴턴, 우주의 법칙을 증명하다

나가며: 미적분 직관하기를 마치며

[부록]
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